章节 40 | 初识动态规划：如何巧妙解决“双十一”购物时的凑单问题？

在数字时代，每年的“双十一”购物狂欢节已成为全球瞩目的消费盛宴。面对琳琅满目的商品与复杂的优惠策略，如何高效、精准地凑单以最大化节省成本，成为了众多消费者的关注焦点。这一过程中，隐藏着计算机科学中一个经典而强大的问题解决方法——动态规划（Dynamic Programming, DP）。本章将带领读者通过“双十一”凑单这一实际场景，初识动态规划的魅力，并学会如何利用它来解决类似的复杂优化问题。

一、问题背景与定义

假设在“双十一”期间，你计划在一家电商平台上购买若干商品，每件商品有其固定的原价和优惠后的价格（可能是满减、折扣或直降等形式），同时平台还提供了一种或多种形式的满减优惠，如“满300减50”，“满600减120”等。你的目标是，在不超过预算的前提下，通过合理选择购买的商品和凑单方式，使得实际支付金额最少。

二、动态规划基础

动态规划是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。它利用子问题的重叠性质（即不同子问题之间可能会用到相同的子子问题的解）和最优子结构性质（即原问题的最优解包含其子问题的最优解），来避免重复计算，从而提高效率。

三、凑单问题的动态规划建模

3.1 状态定义

首先，我们需要定义状态。在这个问题中，状态可以定义为dp[i][j]，表示在前i件商品中选取若干件，使得总价格恰好为j时，能够获得的最大优惠金额（或理解为最小支付金额，因为两者在本质上是等价的，只是计算方式略有不同）。注意，这里的j应当覆盖所有可能的满减门槛值及其整数倍，以确保能捕捉到所有可能的优惠。

3.2 状态转移方程

接下来，我们需要构建状态转移方程。对于每件商品，我们有两个选择：买或不买。如果不买，那么当前状态dp[i][j]的值应与前一件商品在相同总价j下的状态相同，即dp[i][j] = dp[i-1][j]。如果买，则需要考虑购买这件商品后总价变为j（或j的某个大于原价且满足某个满减条件的值）时，能获得的优惠。假设第i件商品的原价为price[i]，优惠后价格（或视为直接减去折扣部分）为cost[i]，则状态转移方程可以表示为：

[
dp[i][j] = \max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-price[i]] + \text{getDiscountForJ}(j))
]

其中，getDiscountForJ(j)是一个根据当前总价j判断并返回对应满减优惠的函数。注意，这里简化了处理，实际中可能需要根据具体的满减规则来实现这个函数。

3.3 初始化

在动态规划开始前，需要对所有状态进行初始化。通常，dp[0][0]被初始化为0，表示没有商品时，总价为0时的最大优惠也是0。对于其他dp[0][j]（j > 0），由于没有任何商品可选，所以应设置为一个很大的负数（表示不可达状态），或者根据具体情况设定。

3.4 边界条件与特殊情况

• 总价超出预算：如果某个状态的总价超出了预设的预算，该状态应视为无效，可通过设置极大负数来避免选择。
• 无有效满减：当总价不满足任何满减条件时，getDiscountForJ(j)应返回0。
• 商品单价大于满减门槛：对于单价极高的商品，如果其单独购买就能满足某个满减条件，需要特别处理这种情况下的优惠计算。

四、算法实现与优化

4.1 伪代码实现

function dynamicProgrammingForCoupon(prices, costs, discounts, budget):
    // prices: 商品原价列表
    // costs: 商品优惠后价格（或视为直接折扣后的价格）列表
    // discounts: 满减规则，如[(300, 50), (600, 120)]
    // budget: 预算上限
    n = len(prices)
    maxDiscount = max(discount[1] for discount in discounts)  // 最大可能优惠
    maxValue = budget + maxDiscount  // 最大值考虑最大优惠
    // 初始化dp数组
    dp = [[float('-inf')] * (maxValue + 1) for _ in range(n + 1)]
    dp[0][0] = 0  // 没有商品时，总价为0的优惠为0
    // 填充dp数组
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(maxValue + 1):
            dp[i][j] = dp[i-1][j]  // 不买第i件商品
            if j >= prices[i-1]:
                # 计算购买第i件商品后的优惠
                for (threshold, discount) in discounts:
                    if j >= threshold and (j - prices[i-1]) % threshold == 0:
                        # 假设简化处理，直接按门槛计算优惠
                        discountedAmount = discount * ((j - prices[i-1]) // threshold)
                        dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-prices[i-1]] + discountedAmount)
    # 找到预算内最小支付金额
    minPayment = float('inf')
    for j in range(budget + 1):
        if dp[n][j] != float('-inf'):
            minPayment = min(minPayment, j - dp[n][j])
    return minPayment

4.2 优化考虑

• 空间优化：由于当前状态只依赖于前一状态，可以使用一维数组代替二维数组，减少空间复杂度。
• 预处理满减条件：对于复杂的满减规则，可以提前预处理出每个总价j对应的最大优惠，避免在状态转移时重复计算。
• 剪枝：当总价j已经远超过预算且无法获得更多优惠时，可以提前终止该路径的计算。

五、实战应用与扩展

通过上述动态规划模型的建立与实现，我们不仅能够解决“双十一”凑单问题，还能将这一思路应用于更广泛的场景，如背包问题、最长公共子序列、最短路径问题等。在实际应用中，根据具体问题的特点，可能需要调整状态定义、状态转移方程以及优化策略，以达到最佳的求解效果。

六、总结

本章通过“双十一”凑单这一生动有趣的实例，带领读者初步领略了动态规划的魅力。动态规划作为一种强大的算法设计技巧，其核心在于将复杂问题分解为简单子问题，并通过存储中间结果来避免重复计算，从而高效求解。希望读者能够通过本章的学习，掌握动态规划的基本思想和方法，进而在解决实际问题时能够灵活运用，达到事半功倍的效果。