第六章：逻辑回归与多层感知机

在机器学习的广阔领域中，分类问题是至关重要的一环，它旨在将数据集中的样本划分为不同的类别。本章将深入探讨两种在分类任务中极为流行的模型：逻辑回归（Logistic Regression）与多层感知机（Multi-Layer Perceptron, MLP），它们各自具有独特的优势和应用场景，是理解更复杂神经网络结构的基础。

6.1 引言

分类问题广泛存在于现实世界的各个领域，如垃圾邮件识别、疾病诊断、信用评分等。逻辑回归作为线性模型的一种扩展，通过引入Sigmoid函数实现了对二分类问题的有效处理；而多层感知机，作为人工神经网络的基本单元，通过堆叠多个非线性层，能够处理更为复杂的分类及回归任务，是深度学习领域的基础。

6.2 逻辑回归

6.2.1 基本原理

逻辑回归虽然名为“回归”，但实际上是一种用于二分类问题的广义线性模型。其核心在于通过线性组合输入特征（即线性回归），然后应用Sigmoid函数将输出值映射到(0, 1)区间内，这个值可以解释为属于某一类别的概率。Sigmoid函数定义如下：

[ \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}} ]

其中，$z$ 是线性组合的结果，即 $z = \theta^T X$，$\theta$ 是模型参数，$X$ 是输入特征向量。

6.2.2 损失函数与优化

逻辑回归采用对数损失（Log Loss）或交叉熵损失（Cross-Entropy Loss）作为优化目标，该损失函数衡量了模型预测概率与真实标签之间的差异。对于二分类问题，其损失函数可表示为：

[ L(\theta) = -\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \left[ y_i \log(\sigma(z_i)) + (1-y_i) \log(1-\sigma(z_i)) \right] ]

其中，$N$ 是样本数量，$y_i$ 是第$i$个样本的真实标签（0或1），$z_i$ 是第$i$个样本的线性组合结果。

优化过程通常使用梯度下降法或其变体（如随机梯度下降、批量梯度下降等），通过迭代更新模型参数$\theta$，以最小化损失函数。

6.2.3 应用实例

逻辑回归因其简单高效，在多个领域有着广泛应用，如金融领域的信用评分、医疗领域的疾病预测等。特别是在特征维度不高且数据线性可分或近似线性可分的情况下，逻辑回归往往能取得不错的效果。

6.3 多层感知机（MLP）

6.3.1 结构概述

多层感知机，又称前馈神经网络，是深度学习模型的基础。它由输入层、一个或多个隐藏层以及输出层组成，层与层之间通过全连接的方式传递信息。每个神经元接收来自前一层神经元的加权输入，并通过激活函数（如Sigmoid、ReLU等）产生输出。

6.3.2 激活函数

激活函数是神经网络中引入非线性的关键。在多层感知机中，常用的激活函数包括Sigmoid、Tanh和ReLU（Rectified Linear Unit）等。ReLU函数因其计算简单、收敛速度快且能有效缓解梯度消失问题，在深度学习中尤为受欢迎。

6.3.3 前向传播与反向传播

• 前向传播：输入数据通过神经网络逐层传递，直至输出层产生预测结果。
• 反向传播：根据预测结果与真实标签之间的差异（通过损失函数衡量），利用链式法则计算网络中各参数的梯度，并据此更新参数，以最小化损失函数。这一过程是神经网络训练的核心。

6.3.4 优化算法

多层感知机的训练常采用随机梯度下降（SGD）或其改进版本，如动量法（Momentum）、RMSprop、Adam等。这些优化算法通过调整学习率、引入动量项或自适应调整学习率等方式，加速训练过程并提升模型性能。

6.3.5 应用实例

多层感知机因其强大的非线性建模能力，在图像识别、语音识别、自然语言处理等多个领域展现出巨大潜力。例如，在图像分类任务中，通过堆叠多个卷积层和池化层构成的卷积神经网络（CNN），实质上是一种特殊形式的多层感知机，能够自动提取图像中的高级特征，实现高精度的分类。

6.4 逻辑回归与多层感知机的比较

• 模型复杂度：逻辑回归模型简单，易于理解和实现；而多层感知机结构复杂，参数众多，需要更多的计算资源。
• 非线性建模能力：逻辑回归本质上是线性模型，通过Sigmoid函数引入非线性，但建模能力有限；多层感知机通过堆叠多个非线性层，能够处理复杂的非线性关系。
• 应用场景：逻辑回归适用于特征维度不高且数据线性可分或近似线性可分的情况；多层感知机则更适用于特征维度高、数据分布复杂或需要提取高级特征的任务。

6.5 小结

本章详细介绍了逻辑回归与多层感知机的基本原理、优化方法、应用实例以及它们之间的比较。逻辑回归作为分类问题的入门模型，为理解更复杂的机器学习算法提供了基础；而多层感知机作为深度学习的基础单元，展示了神经网络在解决复杂问题上的巨大潜力。通过本章的学习，读者应能掌握这两种模型的基本使用方法，并理解它们在机器学习领域中的重要地位。