第十章：PHP中的动态规划-PHP程序员面试算法宝典

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第十章：PHP中的动态规划

在编程与算法的世界里，动态规划（Dynamic Programming, DP）是一种强大的技术，用于解决那些可以通过分解为重叠子问题并存储中间结果来优化性能的问题。尽管动态规划的概念本身不依赖于特定的编程语言，PHP作为一门广泛应用于Web开发的脚本语言，同样能够高效地实现动态规划算法。本章将深入探讨如何在PHP环境中应用动态规划解决一系列经典问题，包括理解动态规划的基本概念、构建动态规划解法的步骤，以及通过实际案例巩固知识。

10.1 动态规划基础

10.1.1 定义与特点

动态规划通过将原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题。它通常用于解决具有最优子结构（即问题的最优解包含其子问题的最优解）和重叠子问题（即子问题被多次求解）特性的问题。动态规划的核心思想在于“记忆化搜索”或“填表法”，即保存已解决的子问题的答案，避免重复计算，从而提高效率。

10.1.2 设计步骤

定义状态：首先，明确问题的状态表示，即如何用一个或多个变量描述问题在任何时刻的状态。
状态转移方程：根据问题的性质，推导出从一个状态转移到另一个状态（通常是相邻状态）的方程或规则。
初始化边界条件：设定初始状态的值，这通常是问题求解的起点。
计算顺序：确定计算状态的顺序，确保在计算任何状态时，所有需要的子状态都已经被计算过。
输出结果：根据最终状态或特定状态的值，得出问题的解。

10.2 PHP中实现动态规划

在PHP中实现动态规划，关键在于利用数组或关联数组来存储中间结果。PHP的灵活性和强大的数组操作能力使得实现动态规划算法变得直观且高效。

10.2.1 示例：斐波那契数列

斐波那契数列是动态规划入门级的经典问题，其定义是：F(0)=0, F(1)=1, 对于n>1, 有F(n)=F(n-1)+F(n-2)。使用动态规划求解可以避免重复计算，提高效率。

function fibonacci($n) {
    if ($n <= 1) {
        return $n;
    }
    $dp = array_fill(0, $n + 1, 0); // 初始化动态规划数组
    $dp[0] = 0;
    $dp[1] = 1;
    for ($i = 2; $i <= $n; $i++) {
        $dp[$i] = $dp[$i - 1] + $dp[$i - 2]; // 状态转移方程
    }
    return $dp[$n];
}
echo fibonacci(10); // 输出55

10.2.2 示例：最长公共子序列（LCS）

最长公共子序列问题是动态规划应用的另一典型案例，旨在找到两个序列共有的最长子序列的长度。

function longestCommonSubsequence($s1, $s2) {
    $m = strlen($s1);
    $n = strlen($s2);
    $dp = array_fill(0, $m + 1, array_fill(0, $n + 1, 0)); // 二维动态规划数组
    for ($i = 1; $i <= $m; $i++) {
        for ($j = 1; $j <= $n; $j++) {
            if ($s1[$i - 1] == $s2[$j - 1]) {
                $dp[$i][$j] = $dp[$i - 1][$j - 1] + 1; // 字符匹配，状态转移
            } else {
                $dp[$i][$j] = max($dp[$i - 1][$j], $dp[$i][$j - 1]); // 不匹配，取较大者
            }
        }
    }
    return $dp[$m][$n]; // 返回最长公共子序列的长度
}
echo longestCommonSubsequence("AGGTAB", "GXTXAYB"); // 输出4

10.3 进阶应用

10.3.1 0-1背包问题

0-1背包问题是一个典型的动态规划问题，它要求在给定的重量限制下，从一组物品中选择若干个装入背包，使得背包中物品的总价值最大，且每个物品只能被选择一次。

function knapsack($W, $wt, $val, $n) {
    $K = array_fill(0, ($n + 1), array_fill(0, ($W + 1), 0)); // 初始化二维动态规划数组
    for ($i = 1; $i <= $n; $i++) {
        for ($w = 1; $w <= $W; $w++) {
            if ($wt[$i - 1] <= $w) {
                $K[$i][$w] = max($val[$i - 1] + $K[$i - 1][$w - $wt[$i - 1]], $K[$i - 1][$w]);
            } else {
                $K[$i][$w] = $K[$i - 1][$w];
            }
        }
    }
    return $K[$n][$W]; // 返回最大价值
}
// 示例
$val = [60, 100, 120];
$wt = [10, 20, 30];
$W = 50;
$n = count($val);
echo knapsack($W, $wt, $val, $n); // 输出220

10.3.2 矩阵链乘法

矩阵链乘法问题是关于如何以最少的乘法次数将一系列矩阵相乘的问题。通过动态规划可以找到最优的乘法顺序。

function matrixChainOrder($p, $n) {
    $m = $n - 1;
    $L = array_fill(0, $n, array_fill(0, $n, 0)); // 存储最小乘法次数
    $s = array_fill(0, $n, array_fill(0, $n, 0)); // 存储分割点
    for ($l = 2; $l <= $m; $l++) { // l是链的长度
        for ($i = 1; $i <= $n - $l + 1; $i++) {
            $j = $i + $l - 1;
            $L[$i][$j] = PHP_INT_MAX;
            for ($k = $i; $k < $j; $k++) {
                $q = $L[$i][$k] + $L[$k + 1][$j] + $p[$i - 1] * $p[$k] * $p[$j];
                if ($q < $L[$i][$j]) {
                    $L[$i][$j] = $q;
                    $s[$i][$j] = $k;
                }
            }
        }
    }
    return $L[1][$n - 1]; // 返回最小乘法次数
}
// 示例（矩阵维度数组）
$p = [30, 35, 15, 5, 10, 20, 25];
$n = count($p);
echo matrixChainOrder($p, $n); // 输出最小乘法次数

10.4 总结

本章通过一系列经典问题深入探讨了PHP中动态规划的应用。从基础概念到设计步骤，再到具体实现，我们逐步构建了使用PHP解决动态规划问题的知识体系。通过斐波那契数列、最长公共子序列、0-1背包问题和矩阵链乘法等实例，读者不仅能掌握动态规划的基本技巧，还能学会如何将这些技巧应用于解决复杂的实际问题。动态规划作为一种强大的算法设计技术，在PHP及其他编程语言中均有着广泛的应用前景。