20 | 概率基础（上）：一篇文章帮你理解随机变量、概率分布和期望值-程序员必学数学基础课

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20 | 概率基础（上）：一篇文章帮你理解随机变量、概率分布和期望值

在编程与数据科学的广阔天地中，概率论不仅是理论研究的基石，更是解决实际问题不可或缺的工具。本章节将带领你深入探索概率论的基础概念——随机变量、概率分布以及期望值，为你在编程实践中运用统计学知识打下坚实的基础。

一、随机变量的引入

1.1 定义与分类

随机变量，顾名思义，是取值具有随机性的变量。在数学与统计学中，它用于描述某一随机现象的结果。根据取值范围的不同，随机变量可以分为两大类：离散型随机变量和连续型随机变量。

离散型随机变量：其取值可以一一列举，且取值个数有限或可数个。例如，抛掷一枚六面骰子得到的点数就是一个离散型随机变量，其取值为1, 2, 3, 4, 5, 6。
连续型随机变量：其取值可以在某一区间内任意取，且取值个数不可数。例如，测量某城市一天的气温就是一个连续型随机变量，气温可以是区间[0°C, 50°C]内的任意值。

1.2 随机变量的表示

通常，我们用大写字母（如X, Y）来表示随机变量，而其具体取值则用小写字母（如x, y）或具体数值表示。例如，若X表示抛掷一枚硬币正面朝上的次数，则X=1表示正面朝上了一次。

二、概率分布：随机变量的“画像”

2.1 离散型随机变量的概率分布

对于离散型随机变量，我们需要知道它取每一个可能值的概率，这就是离散型随机变量的概率分布。概率分布表或概率分布函数是描述这种关系的重要工具。

概率分布表：列出随机变量所有可能的取值及其对应的概率。
概率分布函数（PMF）：对于离散型随机变量X，其概率分布函数PMF定义为$P(X=x)$，表示X取值为x的概率。

示例：考虑抛掷一枚六面骰子，其概率分布表为：

X	1	2	3	4	5	6
P(X)	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

这里，PMF为$P(X=x) = \frac{1}{6}$，其中$x \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}$。

2.2 连续型随机变量的概率分布

与离散型随机变量不同，连续型随机变量在某个具体值上的概率为0（因为存在无限多个可能值）。因此，我们需要用概率密度函数（PDF）来描述连续型随机变量的概率分布。

概率密度函数（PDF）：对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)满足：对于任意实数区间[a, b]，X落在该区间的概率为$P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$。

示例：正态分布（高斯分布）是最常见的连续型分布之一，其PDF为$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$，其中$\mu$是均值，$\sigma$是标准差。

三、期望值：随机变量的“平均”表现

3.1 定义与性质

期望值（Expected Value），又称均值或数学期望，是随机变量所有可能取值的加权平均数，权数为各取值的概率。期望值反映了随机变量的“平均”或“中心”趋势，是描述随机变量特性的一个重要数字特征。

离散型随机变量的期望值：若X为离散型随机变量，其期望值E(X)定义为$E(X) = \sum_{i} x_i p_i$，其中$x_i$是X的所有可能取值，$p_i$是对应的概率。
连续型随机变量的期望值：若X为连续型随机变量，其期望值E(X)定义为$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx$，其中f(x)是X的PDF。

性质：期望值具有线性性质，即对于任意常数a和b，以及随机变量X和Y，有$E(aX+bY) = aE(X) + bE(Y)$。

3.2 期望值的意义

期望值在多个领域都有广泛的应用。在经济学中，它可以帮助预测投资回报；在决策分析中，它可以帮助评估不同策略的平均结果；在数据科学中，它是许多算法（如回归分析、聚类分析）的基础。

示例：考虑一个游戏，玩家每次支付1元参与，有50%的概率赢得2元，50%的概率不赢不亏。该游戏的期望收益为$E(X) = 0.5 \times 2 + 0.5 \times 0 = 1$元。虽然从长期来看，玩家每次参与的平均收益为1元（等于支付的费用），但实际上存在输赢的不确定性，因此期望值并不等同于每次的实际结果。